Formule de Taylor
Présentation
J'ai eu envie de démontrer la formule de Taylor ci-dessous pour deux raisons : d'abord parce que c'est une étape capitale de l'histoire des mathématiques et qu'aucun des profs ou des bouquins de ma jeunesse ne me l'avait exposée proprement et ensuite parce qu'au moins comme ça je l'aurai quelque part !
Rappel : la formule de Taylor sert à réaliser une approximation d'une fonction f au point x ne connaissant que sa valeur et celles de ses dérivées successives au point a, considéré comme voisin de x. Sa version infinie s'écrit :
ou encore, de manière plus concise :
L'intégrale qui subsiste à la fin de l'expression est le reste de l'approximation de Taylor. Le principe étant d'aller aussi loin que possible dans les n, on l'ignore couramment (ou on ajoute des points de suspension) quand on écrit l'approximation d'une fonction connue, par exemple :
La démonstration
Tout commence avec l'égalité fondamentale suivante :
Ceci est connu de tous avant le bac. Maintenant si on change l'ordre des termes on trouve :
�a n'est pas mieux ? Si, car on va ré-écrire le dernier terme avec une intégration par parties :
or le terme nous embête car il est évalué en x et pas en a (rappel : je veux que tout ce qui se situe à droite du signe égal ne soit évalué qu'en a !). On ré-écrit donc ce terme comme suit :
que l'on peut réintégrer dans {3} :
On peut continue d'appliquer le même genre d'intégration par partie pour développer le terme intégral et ainsi affiner notre approximation :
or le terme entre crochets s'annule pour t=x et on obtient :
et en intégrant cette expression ainsi que {4} dans {3} on aboutit à la formule de Taylor d'ordre 3 :
� ce moment, on imagine que cette expression, par intégrations par parties successives, va aboutir à {1}, chose que l'on vérifie par induction.